概要及注意

注意：在讨论解析几何的时候很多情况下要做特判，特判重合、等于零，等等。但出于懒惰与大意还有其他原因，并非每一处需要特判的地方我都有指出，请读者自行注意特殊情况。

矢量

要素：大小与方向。矢量起点不固定，故称自由矢量。这为证明提供了一些方便。

模与零矢量，零矢量的方向，平行的非传递性。

矢量加法的平行四边形法则，加法交换律与结合律，减法。

线性组合与分解，线性相关与共面的一致性，尤其是二维与三维情况下。

用矢量证明三角形三垂线交于一点

坐标系

右手系，卦限。

单位矢量用以表示方向，基

投影，方向角与方向余弦。

Caution：求单位向量时不可忘记$\pm$！！

距离（推导办法：化归+勾股定理）

方向余弦满足：$\sum cos^2 = 1, \vec{e} = cos \alpha \vec{i} + cos \beta \vec{j} + cos \gamma \vec{k}$。

$\dfrac{m}{n}$定比分点公式（比$\lambda$定比分点公式要更容易记，可用于求质心坐标）

矢量运算

数乘

独立于矢量，可将数分离。

结合律、分配律

点乘

投影，和投影与投影和

渊源，基本运算定律，垂直

从矢量到模的转化

点乘坐标表达式

证明余弦定理

叉乘

规则，不满足交换律。

平行（在坐标表达式中也有所体现）

坐标表达式

求面积（二维情形与三维情形），求垂直的矢量

关于面积，代数上的推导自然方便，但感觉上缺少了几何的古典之美，以下是m67的几何推导（二维情形）：

http://www.matrix67.com/blog/archives/6217

其他

混合积

形式：$a \cdot (b \times c)$，其展开就是把$b \times c$最上面一行换成$a_1, a_2, a_3$。

性质：三向量共面 $\Leftrightarrow$ 混合积 = 0

几何意义：以a、b、c为棱的平行六面体体积。（也可以算四面体等）

二重矢积：$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$

平面与直线方程

平面方程

先来回忆一下如何确定一个平面。这又很多种方法，其中一种是通过已知一点还有平面的法向量。通过简单的推导，我们能够得到平面的点法式方程：$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$。（注意推导顺序：已知方程并不好推出为何它表示了点法式）

将点法式方程进行简单的变式，就得到了平面的一般方程：$Ax + By + Cz + D = 0$。

平面的一般方程与点法式方程实则相差无几，都是通过法向量来刻画平面的”方向”的，再以常数调整平面的位置。这是非常巧妙的做法，将较难描述的平面通过我们已学过的向量来描述。

一般方程是一次的，通过一一对应，我们又能够推出平面方程即一次方程，前者是几何概念，后者是代数概念。

以下是特殊情况：①D = 0；②A = 0；③A = B = 0……

有了点法式方程我们能处理什么样的问题了呢？一种变式是过三点的平面（三点可得两向量，叉乘得法线）。

还有“垂直于两平面”这种条件，也可转化为法向量。

平面的截距式方程，画图比较方便，还有啥用途我就不知道了。

谈到平面方程，我们还需要考虑平面间的关系：两平面夹角、点到平面距离……点到平面的距离的公式较为美观，但笔者尚不不明白其特殊意义。

直线方程

直线的两种方程

在二维的情况中直线很容易表示，毕竟二维情况下x，y构成了一组映射。但在三维情况下呢？映射不能用了，我们可以选择参数式方程，或“推广”参数方程的思想，构造出点向式方程：$\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b} = \dfrac{z - z_0}{c}$。

或者，我们可以“两点确定一条直线”，得到两点式方程。

再或者，我们也可以把直线看作是两个平面的交，这就得到了一般方程。

注意点向式方程的特殊情形：$a = 0, a = b = 0$的情形。

点向式虽然看上去只是“一个”方程，但它其实是两个映射的拼接：从x到y的映射与从x到z的映射。把这两个映射分别写出来，再稍加变形，我们可以实现从点向式方程到一般方程的转换。

一般方程看上去和点向式方程差异挺大，能否将一般方程转化为点向式方程呢？答案是肯定的：将两个平面的法向量作叉乘，即得到直线的方向向量。再任取两个平面的一公共点，如此便好啦。

其实两点式、参数式、点向式的中心思想都是一样的，不过它们的出发点不同，故使用起来有方便与不方便之分。笔者更为喜欢参数式方程，因为它在表示“直线上的点”上更为方便。看到直线与XXX的“交点”等表述，不妨考虑参数式方程。以下是例题：

1.证明直线$\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y+1}{-1} = \dfrac{z+3}{3}$落在平面$2x + y - z = 0$上。

2.求过点$P(-1, 2 ,-3)$且垂直于矢量$a = (6, -2, -3)$还与直线$\dfrac{x-1}{3} = \dfrac{y+1}{4} = \dfrac{z-3}{-5}$相交的直线方程。

例二可以通过构造过点$P$且以$a$为法向量的平面$\pi$，再来求交点的坐标。不过笔者认为使用参数式方程要容易一些，不光在思维难度上，也在运算上。

点线面间的关系

1.求点到直线的距离

可以通过找到点在直线上的投影（即解$P’$使$P’P \perp M_0P’$，其中$M_0$为直线上任意一点，$M_0P’$即直线方向向量）。

也可以通过几何分析，确定$h = \dfrac{|PM_0 \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$，其中$M_0$为直线上任意一点，$v$即直线方向向量。

2.求直线在平面上的投影直线方程

容易想到的做法是在投影直线上求出两点，但这样要用两次高斯消元，复杂度略高，有无更好的解法呢？

考虑直线的一般方程。所谓投影直线，必然在给定平面上。而且，它也必然在本身与给定直线形成的平面上。如何确定这个平面呢？考虑其法向量$n$，$n$与原直线垂直，也与给定平面的法向量垂直，故一个叉乘即可得$n$。至此问题的思路便清晰了。

3.求异面直线间的距离

求线和线的距离不容易，但是求线到与之平行的面的距离则并不困难，能够将前者转化为后者呢？

在这样的思路下，我们过直线$L_1$作与$L_2$平行的平面，问题便迎刃而解了。因将得到的线与面的距离平移，就得到两直线间的距离。经整理，得$h = \dfrac{|M_1M_2 \cdot (v_1 \times v_2)|}{|(v_1 \times v_2)|}$。其中$M_1, M_2$一者为直线上的点，一者为构造出的平面上的点（为方便起见，$M_1, M_2$分别可取两直线上的点），$v$是直线方向向量。

还有线面角、线线角等，就不加赘述了。

平面束方程

直线的方程并非唯一的。点向式固然不唯一：点可以任选，方向向量的大小也是任意的，但这些都是小问题。一般方程的不唯一就有意思了：因为任意两个过该直线的互异平面均可得到同一直线，直线可由无穷多对平面定义。那么，能否通过直线找到所有经过它的平面呢？

先给出结论吧：若记直线的一般方程为$A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ && $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$，则其经过该直线的平面必可表示为$\lambda(A_1x + B_1y + C_1z + D_1) + \mu(A_2x + B_2y + C_2z + D_2) = A_3x + B_3y + C_3z + D_3$。

至于为什么这个式子成立，我们可从法向量的角度来看。$\lambda(A_1x + B_1y + C_1z) + \mu(A_2x + B_2y + C_2z)$表示了垂直于直线的平面上的一切向量。又$A_3x + B_3y + C_3z + D_3 = 0$过直线，故其取遍了一切过直线的平面。

以上的平面束方程中有两个变元，但实际运算时往往取$\lambda = 1$还有$\lambda = 0$以减少未知量个数。

平面束方程在求解“过直线且满足一定性质”的平面上较为有效。

小结

问题：我们学到这里能解决哪些问题了呢？

1.求过一点且垂直于已知直线的直线

2.……（待补充）

曲面方程

面：满足$F(x, y, z) = 0$的点的集合。

先从球面方程$x^2 + y^2 + z^2 = 1$直观地感受一下曲面方程吧，它类似于二位情况下的曲线方程。

柱面方程

啥是柱面呢？可以联想一下“圆柱”：一个圆，沿着一条直线划出的轨迹。这样便引出柱面的定义了：一条直线$L$绕着曲线$\Gamma$运动所形成的轨迹。$L$叫母线，$\Gamma$叫准线。

在空间中，$F(x, y) = 0$便表示以z轴为母线的柱面方程。这样我们就可以写出“正常的”圆柱的方程啦！

如果母线不是z轴，而是复杂的情况，如$\vec{v} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}$，该怎么办咧？先考虑简单的情况：准线在$xOy$上。那么，所得柱面便是将准线沿“斜着的”方向平移即可，对于不在$xOy$平面上的点，可以通过母线将其转换到$xOy$平面上。通过推导，我们得到这样的曲面方程即$F(x - \dfrac{a}{c}z, y - \dfrac{b}{c}z) = 0$。

平面上的曲线方程放到空间中，都能“进化”成柱面方程，如双曲柱面、抛物柱面、椭圆柱面等等。

//讲得还不清楚，待补充

锥面方程

柱面方程是直线平动产生的，那么直线转动会产生什么呢？类似于柱面的定义，一条直线$L$固定一点绕着曲线$\Gamma$转动所形成的轨迹，这便是锥面。

如果$\Gamma$在平面$z = h$上，那么锥面方程便是$F(\dfrac{h}{z} x, \dfrac{h}{z} y) = 0$。

锥面方程的一个例子是椭圆锥面：以$z = c$平面上的椭圆$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$为准线而以原点为顶点的锥面方程，写出来就是$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 0$。

旋转曲面方程

上一种情况中是直线绕固定点转动，若是直线绕固定轴转动，得到的就是旋转曲面了，这可以很形象地画出来。

考虑$yOz$平面上的曲线$\Gamma$，其方程为$F(y, z) = 0$。$\Gamma$绕z轴转动得到的旋转曲面方程如何求解呢？考虑$z = c$平面上的$\Gamma$上的一点与旋转后的曲面上的一点，我们要做的便是将后者化归到前者。由观察知，这两点到z轴的距离都相等。于是乎，可得旋转曲面方程$F(\pm \sqrt{x^2 + y^2}, z) = 0$。

以上是绕一个坐标轴旋转的情况，换为其他坐标轴，解法也大同小异。

通过旋转曲面我们又能得到一些经典的曲面：单叶双曲面、双叶双曲面。前者可由$x^2 - y^2 = 1$绕y轴得到，后者可由其绕x轴得到。

旋转曲面方程求解的中心思想便是$\pm \sqrt{x^2 + y^2}$转化为$y$。记住这点，我们可以求一些稍微偏僻一点的题目：如直线$\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{2}$绕z轴旋转所形成的曲面的方程。

曲线方程

同理于直线方程的定义，曲线可以通过两个面的交得到，无论是平面还是曲面。特殊地，柱面和准线所在平面的交就能得到准线。（有趣的是，之前我们是用更易描述的曲线得到较难描述的柱面的，现在我们又用约束较少的柱面来解约束更多的曲线了）

曲线可以用参数方程表示，一个经典的例子便是螺旋线。

曲线在平面上的投影也是一个重要的课题，其算法是容易接受的，但理解起来并不那么容易。我们先看个简单的例子：

曲线为$x^2 + y^2 + z^2 = 2, z = 1$，求其于$xOy$平面上的投影。

算法的第一步是消去z，但这意味着什么呢？其实便是将z=1平面中的形状给拓展成柱面。然后取z=0，就是取柱面的一个截面。总之，就是将z=1平面上的形状投影到z=0上面了。

理解了上面的例子，再来看一般的情况吧：$F_1(x, y, z) = 0, F_2(x, y, z) = 0$，解得$z = G(x, y)$。对具体的$z = z_0$，$F_1(x_0, y_0, z_0) = F_1(x_0, y_0, G(x_0, y_0)) = F’(x_0, y_0)$，也就是$z = z_0$平面上的曲线。所有这样的曲线形成的柱面的并也就是$F_1(x, y, G(x, y)) = F’(x, y)$。取$z = z_0$，即得其在xOy平面上的投影。

有面的投影，也可以有体的投影。体的可以通过面的“围成”得到。故在曲面的方程中将等号更为不等号，体的投影便可得到。

二次曲面

接触到曲面以后，我们不免要问，基本的曲面有哪些呢？考虑到次数越高往往越麻烦，而一次方程只能够产生平面，我们探索的主要方向是二次曲面。三个变元三种指数（0，1，2）正负两种情况，能够出现多少种组合呢？这里有很多约束条件，要考虑对称，要考虑常数项，比较麻烦。

//还不会讨论

书中给出了六类情况：其中“纯二次”的有椭球面、二次锥面、单叶双曲线还有双叶双曲线；含一次项的有椭圆抛物面还有双曲抛物面（马鞍面）。

了解了这些情况，我们如何从给定的方程中确定形状呢？这是由曲线出发得到曲面的逆过程，并不符合正常的思维规律。故而我们可以逆向思维，考虑什么样的曲线能凑出这个方程，然后再通过“一一对应”确定唯一性。以$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = -1$为例。将坐标轴做伸缩变换，得到$\dfrac{x^2 + y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = -1$。而这个方程能通过$\dfrac{x^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = -1$绕z轴旋转得到。通过简单的图象，能够确定这是有两瓣的双曲线旋转成的图形。那么，它就是双叶双曲线了。

然而，也有不这么好确定的情况：$z = - \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}$。刚才的方法就不适用啦！这时候可以采取“平面截割法”，比如，用$z = 0, 1, 2, …$割给定的方程，看它在那个平面上的投影如何。再积部分为整体。分别用平行于三个坐标轴的平面割上述曲面，可以形象地感受到“马鞍面”这一名称的名副其实。