极限与连续

概念

多元函数：一种特殊的映射。比如，$R^2 \rightarrow R$的映射，这里又用到了笛卡尔积！

关注定义域（二位情况下为一平面）

平面点集

邻域（依据距离描述，事实上一维情况中也是用距离描述的）

点的类别：内点外点与界点，通过邻域来描述

集的类别：开集与闭集（关注描述方式）

连通性（通过折线描述）与开区域

对于上述概念，我们能够发现，开集与闭集（集的类别）是通过内点外点（点的类别）刻画的，而连通性也是由点的相连刻画的。然而，点本身则是依据其他点（邻域）刻画的。在这里，点本身并不重要，重要的是点与点之间的联系。

极限

二重极限：由任意路径逼近都趋于极限值，方有二重极限。

累次极限：先x后y或先y后x的趋近极限值，两种算法可能不一，本质是一元极限。

二重极限中的“任意”难以直接确定，但否定只需找出反例即可。故若有函数满足在两条路径下趋向某点的极限值不一，函数在该点没有二重极限。

举个例子：$f(x, y) = \dfrac{2xy}{x^2 + y^2}$。取$y = kx$，可说明其在$(0, 0)$处无极限。

虽说二重极限似乎比累次极限更“苛刻”更“强”一些，但事实并非如此，$f(x, y) = xsin \dfrac{1}{y} + y sin \dfrac{1}{x}$便是一个非常好的例子。

有定理：若两累次极限与二重极限均存在，则三者相等。

该定理的推论为：若两累次极限存在但不相等，则二重极限不存在。

在用定义求二重极限时，通过不等式（如基本不等式）还有齐次化的方法有时能够在一定程度上简化问题。

连续

//二元函数的连续性较之一元更为难以判断，是否有判断连续的方法？

二元函数中的连续继承了一元函数中的一些方法：最值、介值、一致连续……

偏导数与全微分

介绍偏导数前，先介绍的是“增量”的概念。

所谓偏导数，理解起来相当容易，不论是在代数上还是几何上。

值得注意的是：$\dfrac{\partial f(x, y)}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial f(x, y)}{\partial y \partial x}$，当$f_{xy}^{‘’}(x, y)$与$f_{yx}^{‘’}(x, y)$在给定点均连续时。（至于证明，先考虑如何得到二阶导数？可以通过两次一元的中值定理，而这需要构造出一个四元的F，再“算两次”即可）

至于偏导数的计算，主要有两种策略：先代入另一变量再套公式，或者先套公式再代入，计算复杂度不一。

全微分，和一元的情况很像，写出来是$df(x, y) = A(x)dx + B(y)dy + o(\rho)$

关键在于全微分与偏导数的关系：$df(x, y) = \dfrac{\partial f(x, y)}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f(x, y)}{\partial y}dy + o(\rho)$，此即全增量公式（这个式子是先假定全微分存在，再令$\Delta y = 0$，则可得到$A = \dfrac{\partial f(x, y)}{\partial x}$，非常奇妙的思路）

也正和一元的情况一样，可微强于连续：可微必然连续，连续不一定可微。另外，可微还能推出偏导存在。反过来不成立，反例：$f(x, y) = ((x, y) == (0, 0) ? \dfrac{2xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} : 0)$。（这一反例与前面的例子略有差异）

但是偏导函数连续（作为二元函数的连续）能够推出可微（证明也是用的两次一元中值定理），这是判断函数可微的重要方法。

概念的话，关系比较错综复杂，大致有连续、可导、可微、偏导连续这几项。

复合函数微分法

求偏导

证明（直接代入$\Delta z = (A + \epsilon_1) \Delta u + (B + \epsilon_2) \Delta v, \Delta u = …$）

算法（类似dfs的算法，变量间的关系是树状结构的，方向是从高层到低层，此之谓链式法则）

应试中需要关注当变元只有一个的时候，$\partial$得换成d。

//微分恒等式是如何构造出来的？

//变换方程的一般算法？

全微分

一阶微分形式不变性//二阶情形？联系一元？普遍适用性？

隐函数微分法

计算方法：用求导，抑或是用全微分//例子，及全微分在解题时的优越性？

//自由变量？自变量与因变量？

隐函数组

一元情形下并没有这个东西，但多元就有了，为啥捏？因为变量间的关系更加错综复杂了。可以一个方程刻画一个隐函数，也可以两个方程刻画两个隐函数（f、g），故而有了隐函数组的概念。

求解隐函数组其实很简单，把所有方程都对同一变量求偏导，然后解方程就行了。归纳起来便是雅可比行列式。

//记号问题

方向导数与梯度

方向导数

方向导数的本质：将两个自由变量化为一个自由变量，即坐标系的一维化

可微则方向导数必存在，其公式也比较简单。但是这里因为有了新的概念引入，概念间的关系又更复杂了：①可微是方向导数存在的充分而非必要条件；②……

例子：蚂蚁旅行//这个例子的本质？

梯度

梯度用于刻画$\dfrac{\partial u}{\partial l}$的最值

多元函数近似运算

多元函数泰勒公式

用“多项式”刻画多元函数。

n阶泰勒公式（证明：构造新的函数，将多元转化为一元，先配出公式，再考虑余项），关注记号。

注意：因为偏导连续，故而$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}= \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} $。

二元函数拉格朗日中值公式及其推论（偏导为零，函数值不变）

多元函数的极值

多元函数极值概念

极值点能够推出偏导不存在，或是存在而为零（证明前者：利用拉格朗日中值定理，$f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0) = hf’(x_0 + \theta h, y_0)$，再加个保号性）

如何判定驻点是极值点呢？记$A = f^{‘’}_{11}(x_0, y_0), B = f^{‘’}_{12}(x_0, y_0), C = f^{‘’}_{22}(x_0, y_0)$，则

—————$B^2 - AC > 0$：驻点非极值点

—————$B^2 - AC < 0$：驻点为(A > 0 ? “极小值” : “极大值”)（A不会为0哒）

—————$B^2 - AC = 0$：得特判

证明的话依旧是拉格朗日中值定理：$f(P) - f(P_0) = \dfrac{1}{2!}[f^{‘’}_{11}(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k) h^2 + …]$，而$f^{‘’}_{11}(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k) = f^{‘’}_{11}(x_0, y_0) + \epsilon_1$，然后后者在$h \rightarrow 0, k \rightarrow 0$时为无穷小量，可以忽略。所以考虑二次函数$Ah^2 + 2Bhk + k^2$，判断一下$\Delta$就能得出$\Delta \not = 0$时候的结论啦（因为$\dfrac{h}{k}$可以任意取值，所以要看在全部区间上二次函数是否同号）。//书上为何在$\Delta < 0$时用了其他方法？

但是这样还有一个疑问：$\Delta = 0$的时候为什么需要特判呢？这些是佐证需要特判的例子：$f_1(x, y) = x^2 + y^4, f_2(x, y) = -f_1(x, y), f_3(x, y) = x^2 + y^3$在(0, 0)点处。下面我不会了

多元函数的最值

比之极值，还要考虑边界点（不同于一元的情形，边界点有无穷个）

条件极值

还记得以前的线性规划么？这里约束条件也来了，不过不一定是线性的……

条件极值的简单情形如是：$G(x, y, z) = 0$，求$f(x, y, z)$的最大值。

传统的做法是消元法，但是当z为x、y的隐函数时消元可能做不了。这样还有什么算法呢？拉格朗日乘数法。

//拉格朗日乘数法的可靠性

//拉格朗日乘数法的优越性